设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y-1...

（1）由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1． 此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论； （2）当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）， 当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系， 由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r． 当切线斜率不存在时，代入检验即可． （3）因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可， 直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值． 【解析】 （Ⅰ）因为a⊥b， 所以a•b=0，即（mx，y+1）•（x，y-1）=0， 故mx2+y2-1=0，即mx2+y2=1． 当m=0时，该方程表示两条直线； 当m=1时，该方程表示圆； 当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆； 当m＜0时，该方程表示双曲线． （Ⅱ）当时，轨迹E的方程为， 设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），当 切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t， A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以， 即t2=r2（1+k2）．① 因为OA⊥OB， 所以x1x2+y1y1=0， 即x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0， 整理得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．② 由方程组 消去y得 （1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0．③ 由韦达定理 代入②式并整理得 （1+k2）， 即5t2=4+4k2． 结合①式有5r2=4，r=， 当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意， 故所求圆的方程为x2+y2=． （Ⅲ）显然，直线l的斜率存在， 设l的方程y=k1x+t1，B1（x3，y3） 轨迹E的方程为． 由直线l与圆相切得t12=R2（1+k12）， 且对应③式有△=（8k1t1）2-4（1+4k12）（4t12-4）=0， 即t12=1+4k12， 由方程组， 解得 当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的． 由韦达定理， 又B1在椭圆上， 所以， 因为l与圆C相切， 所以|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=x32+y32-R2 = = =≤， 其中，等号成立的条件 ， ． 即故当时，|A1B1|的最大值为1．