已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x+1）...

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=sinx是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）= manfen5.com 满分网

，求实数k的取值范围．
（3）若函数f（x）=2^x+x²，证明 f（x）∈M．

（1）根据题意，只要sin（x+1）=sinx+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值进行证明；（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出对应的方程，再由一元二次方程有解的条件求出k的范围，注意二次系数是否为零；（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．【解析】（1）由题意知f（x）=sinx，要f（x+1）=f（x）+f（1），即需sin（x+1）=sinx+sin1 显然当x=0时等式成立，即f（x）=sinx∈M．（2）∵函数f（x）=，∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即， ∴x2+1=k（x2+2x+2），∴（k-1）x2+2kx+2k-1=0有解， ①k=1时，有解，符合； ②k≠1时，△=4k2-4（k-1）（2k-1）≥0，∴，综上：．（3）∵函数f（x）=2x+x2∈M，要证f（x）∈M， ∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，∴2x+1+（x+1）2=2x+x2+3有解，即2x+2x-2=0有解，设h（x）=2x+2x-2，∵h（0）=-1，h（1）=2，根据函数的零点存在性判定理得，存在x∈（0，1），h（x）=0，即f（x+1）=f（x）+f（1）成立，∴f（x）∈M．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等