已知函数． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证...

（1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于0，我们可以构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到答案． （2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到函数f（x）的奇偶性； （3）根据函数单调性的定义，利用作差法，我们可以判断出函数f（x）在定义域（-1，1）上的单调性，进而结合（2）的结论，我们可将不等式f（1+m）+f（m）＜0转化为不等式组，解不等式组，即可得到实数m的取值范围． 【解析】 （1）使解析式有意义的条件为 ， ∴函数的定义域为x∈（-1，1）（4分） （2）函数的定义域关于原点对称， 且，（6分） （7分） 即f（-x）+f（x）=0 ∴f（-x）=-f（x） ∴f（x）为奇函数                                       （8分） （3）设-1＜x1＜x2＜1，则（9分） 所以f（x）在（-1，1）上为减函数，（12分） 又∵f（1+m）+f（m）＜0 ∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m） ．（14分）