把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表： 设aij（i、j∈N*）...

（1）由题目中图中数的排列规律，我们发现图中是把正整数按从小下大、左小右大的原则进行排列，且第i行的第一个数是2i-1，由此不难推断2010的位置． （2）由（1）的结论，我们易对An=a11+a22+a33+…+ann（n∈N*），进行化简，并写出An与n2+n的前若干项，观察后，可根据归纳推理对An与n2+n的大小进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明． 【解析】 （1）数表中前n行共有1+2+22++2n-1=2n-1个数， 即第i行的第一个数是2i-1， ∴aij=2i-1+j-1． ∵210＜2010＜211，aij=2010， ∴i=11． 令210+j-1=2010， 解得j=2010-210+1=987． （2）∵An=a11+a22+a33+…+ann =（1+2+22+…+2n-1）+[0+1+2+…+（n-1）] = ∴． 当n=1时，，则An＜n2+n； 当n=2时，，则An＜n2+n； 当n=3时，，则An＜n2+n； 当n≥4时，猜想：． 下面用数学归纳法证明猜想正确． ①当n=4时，， 即成立； ②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即， 则， ∵， ∴． 即当n=k+1时，猜想也正确． 由①、②得当n≥4时，成立． 当n≥4时，An＞n2+n． 综上所述，当n=1，2，3时，An＜n2+n；当n≥4时，An＞n2+n．