已知函数f（x）=x3-3ax2-9a2x+a3． （1）设a=1，求函数f（x...

（1）把a=1代入，找出导函数为0的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可． （2）转化为求导函数的绝对值在x∈[1，4a]上的最大值即可． 【解析】 （1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x2-6x-9． 令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=3． 列表讨论f（x），f′（x）的变化情况： 所以，f（x）的极大值是f（-1）=6，极小值是f（3）=-26． （2）f′（x）=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称． 若，则f′（x）在[1，4a]上是增函数， 从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a2，最大值是f′（4a）=15a2． 由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a，于是有（1）=3-6a-9a2≥-12a，且f′（4a）=15a2≤12a． 由f′（1）≥-12a得-≤a≤1，由f′（4a）≤12a得 所以，即． 若a＞1，则∵|f′（a）|=15a2＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立． 所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是