已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好...

（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值． （2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围． 【解析】 （1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分） f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分） 由条件②式…（5分） 由①②式解得a=1，b=3 （2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x， 令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2，…（8分） ∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增 ∴[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝） ∴m≥0或m+1≤-2 ∴m≥0或m≤-3