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已知a，b∈R，a2+b2≤4，求证：|3a2-8ab-3b2|≤20．

已知a，b∈R，a2+b2≤4，求证：|3a2-8ab-3b2|≤20．
由于a，b∈R，a2+b2≤4，故可采用换元法，转化为利用三角函数的值域进行求解． 证明：∵a，b∈R，a2+b2≤4，∴可设a=rsinα，b=rcosα，其中0≤r≤2． ∴|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2α-8sinαcosα-3sin2α|=r2|3cos2α-4sin2α| =5r2|cos（2α+φ）|≤5r2≤5×22=20． 故原不等式成立．
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考点分析：
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下列不等式的证明明过程：
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③若x∈R，则manfen5.com 满分网；
④若a，b∈R，ab＜0，则manfen5.com 满分网．
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试题属性
  • 题型：解答题
  • 难度：中等
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