已知二次函数f（x）=ax2+bx+c． （1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证...

（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证； （2）由条件知方程的一根为1，另一根满足-2＜x2＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立． （3）构造函数g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）． 【解析】 （1）因为f（1）=0， 所以a+b+c=0， 又因为a＞b＞c， 所以a＞0，且c＜0， 因此ac＜0， 所以△=b2-4ac＞0， 因此f（x）的图象与x轴有2个交点． （2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2， 因为f（1）=0， 所以f（x）=0的一根为x1=1， 因为x1+x2=-，x1x2=， 所以x2=--1=， 因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0， 所以-2＜x2＜0． 因为要求f（m）=-a＜0， 所以m∈（x1，x2）， 因此m∈（-2，1）， 则m+3＞1， 因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增； 所以f（m+3）＞f（1）=0成立． （3）构造函数g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]， 则g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）-f（x2）]， g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）-f（x1）]， 于是g（x1）g（x2）=[f（x1）-f（x2）][f（x2）-f（x1）] =-[f（x1）-f（x2）]2， 因为f（x1）≠f（x2）， 所以g（x1）g（x2）=-[f（x1）-f（x2）]2＜0， 所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根， 即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．