设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（1）求椭...

设椭圆E：

（a＞b＞0）过M（2， manfen5.com 满分网

），N（

，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且 manfen5.com 满分网

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

（1）由椭圆E过M、N，知，由此能求出椭圆E．（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由，知（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出|AB|取值范围．【解析】（1）椭圆E过M、N ∴∴∴椭圆E：（5分）（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由 ∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0 当△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，要使 ∴x1x2+y1y2=0∴ ∴3m2-8k2-8=0∴ 又 8k2-m2+4＞0∴∴∴ 又y=kx+m与圆心在原点的圆相切 ∴，即， ∴所求圆：当切线斜率不存在时，切线为，与椭圆交于（，）或（，），满足综上：存在这样的圆满足条件（9分） ∵ 当k≠0时， ∴（当时取等）当k=0时，当k不存时， ∴（12分）

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考点分析：

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