已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且A...

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程．再由以AB为底，计算三角形面积．（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．【解析】（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由得x=±1．所以|AB|=．又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．所以h=，S△ABC=|•h=2．（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2-4=0．因为A，B在椭圆上，所以△=-12m2+64＞0．设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，所以|AB|=．又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）此时AB所在直线的方程为y=x-1．

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考点分析：

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