已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0）点在这个椭圆上．（1...

已知椭圆

的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0）点 manfen5.com 满分网

在这个椭圆上．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

（1）直接根据点在这个椭圆上得到求出a，再结合c=1即可求出椭圆的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），把直线方程与椭圆方程联立求出关于M、N两点坐标的方程，根据中点坐标公式即可求出线段MN的中点P的轨迹方程．注意斜率不存在时也要讨论．【解析】（1）由已知得，，∴．∵c=1，∴b=1． ∴所求椭圆的方程为=1．…（4分）（2）由（1）得F1（-1，0）．当直线l的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y）．联立消元，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．…（8分） ∴．从而y1+y2=k（x1+x2+2）=． ∴ 当k=0时，中点P就是原点．k≠0时，x≠0且y≠0．则，代入．因为y≠0，所以x2+2y2+x=0．…（10分）当直线l的斜率不存在时，线段MN的中点为F1．所以，所求轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（12分）

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考点分析：

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