设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；...

（Ⅰ）先求出函数的定义域，再求出其导函数，令导函数大于0得到增区间，小于0得到减区间，考虑自变量取值最后得到单调区间即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出函数的最值，不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立意思是f（x）max≤-m2+2m+e2，f（x）min≥m，求出解集得到m的整数解即可；（Ⅲ）在[0，2]，由f（x）=x2+x+a和条件f（x）=x2+2x-2ln（1+x）相等得到x2+x+a=x2+2x-2ln（1+x）即x-a-2ln（1+x）=0，然后令g（x）=x-a-2ln（1+x），求出其导函数，由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．得到g（0）和g（2）都大于等于0，g（1）小于零，列出不等式组，求出解集即可a的范围． 解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞）， ． 由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0， ∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上递减，在[0，e-1]上递增． ∴f（x）min=f（0）=0 又∵，f（e-1）=e2-3，且， ∴时，f（x）max=e2-3． ∵不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立， ∴， 即 ∵m是整数，∴m=-1． ∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立． （Ⅲ）由f（x）=x2+x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2] 令g（x）=x-a-2ln（1+x），则，x∈[0，2] 由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1． ∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增． ∵方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根， ∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点， ∴， ∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3