对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：a...

（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，得T=6，由此能求出 S2009=S5=a3=1003． （2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，即{an}是周期数列，由此能推导出数列{an}是递增数列，非周期数列． （3）由S2=a1+a2=a1+1005=1007，知a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，且数列{an}是周期为6的周期数列，由此能推导出存在最小的自然数n=1506，对一切自然数m，当m≥n=1506，都有bm＞2009． 【解析】 （1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4 =-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an， 得T=6 所以，数列{an}是以6为周期的周期数列， 周期为任意正整数--（2分） 又由 ， 得a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003S6=0， 且数列{an}是以6为周期的周期数列， 所以，S6n=0， 所以 S2009=S5=a3=1003--（3分） （2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0， 即{an}是周期数列--（5分） 当p≠0，时， 由已知， 且an+1=-2an2+2an， 可得， 依此类推可得（n∈N*） 所以 an+1-an=-2an2+an=an（1-2an）＞0，所以an+1＞an 即数列{an}是递增数列，非周期数列；--（8分） （3）由（1）知，S2=a1+a2=a1+1005=1007， 所以a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003， 且数列{an}是周期为6的周期数列， 所以（an）max=1005（n∈N*），（an）min=-1005， 且 a6n+1=2，a6n+2=1003，a6n+3=1005，a6n+4=-2， a6n+5=-1005，a6n+6=-1003，--（9分） 而当n≥12时，， ， 即2n≥2009+1005=3014， 得n≥1507，即 n≥1507时， 都有bn＞2009；--（12分） 又--（13分） 综上，存在最小的自然数n=1506， 对一切自然数m，当m≥n=1506， 都有bm＞2009．--（14分）