P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P...

P为椭圆

上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，若使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是．

由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F1PF2最大，必须∠F1PF2＞90°，此时＜0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．【解析】由题意可知，分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．而当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F1PF2最大，由条件：欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，必须∠F1PF2＞90°，故＜0，⇒， ∴，又∵0＜e＜1，∴．故答案为：．

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考点分析：

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以下是关于圆锥曲线的四个命题：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线 manfen5.com 满分网