已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；...

已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x²-3．
（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）解方程f（x）=2x．

（1）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；当x=0时f（x）=0；（2）分段画出f（x）的图象．（3）当x大于0时，小于0，等于0时，把（1）得到的相应的解析式代入方程中，求出方程的解集即可．【解析】（1）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0， ∴f（-x）=-f（x），故f（x）在其定义域R内是奇函数（2分）所以f（0）=0 ∵当x＞0时，f（x）=x2-3，设x＜0，所以-x＞0， ∴f（-x）=-f（x）=x2-3，即f（x）=3-x2，则；（6分）（2）函数f（x）的图象为：（3）∵当x＞0时，x2-3=2x，解得：x=3，当x=0时，有0=2x 解得x=0 当x＜0时，3-x2=2x，化简得：（x-1）（x+2）＞0，解得：x=-3 所以方程的解集为{3，0，-3}

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等