已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R． （1）若函数y=f（...

（1）①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值． （2）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围． 【解析】 （1）①f'（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex ∵f（x）有3个极值点， ∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a，b，c． 令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，g'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）， g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减． ∵g（x）有3个零点∴∴-8＜t＜24． ②∵a，b，c是f（x）的三个极值点， ∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc ∴ ∴b=1或-（舍∵b∈（-1，3）） ∴∴t=8 （2）不等式f（x）≤x，即（x3-6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe-x-x3+6x2-3x． 转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]， 不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立． 即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1，m]上恒成立． 即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1，m]上恒成立． 设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ'（x）=-e-x-2x+6． 设r（x）=φ'（x）=-e-x-2x+6，则r'（x）=e-x-2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0． 故r（x）在区间[1，m]上是减函数． 又r（1）=4-e-1＞0，r（2）=2-e-2＞0，r（3）=-e-3＜0 故存在x∈（2，3），使得r（x）=φ'（x）=0． 当1≤x＜x时，有φ'（x）＞0，当x＞x时，有φ'（x）＜0． 从而y=φ（x）在区间[1，x]上递增，在区间[x，+∞）上递减． 又φ（1）=e-1+4＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0，φ（4）=e-4+5＞0，φ（5）=e-5+2＞0，φ（6）=e-6-3＜0． 所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0； 当x≥6时，恒有φ（x）＜0； 故使命题成立的正整数m的最大值为5．