函数（x＞0）． （1）求f（x）的单调减区间并证明； （2）是否存在正实数m，...

（1）按证明一个函数在某个区间上的单调性的基本步骤取点，作差，变形，判断即可． （2）有（1）知f（x）在（0，1]减，在[1，+∞）上增，所以对[m，n]分三种情况①m，n∈（0，1]，②m∈（0，1]，n∈[1，+∞），③m，n∈[1，+∞），来讨论即可． 【解析】 （1）f（x）的单调减区间为（0，1]（2分） 任取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2（3分） 则（4分） ==（6分） ∴f（x1）＞f（x2） ∴f（x）在（0，1]上为减函数（7分） （2）①若m，n∈（0，1]，则f（m）＞f（n） ∴⇒⇒ 两式相减，得不可能成立（9分） ②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），则f（x）的最小值为0，不合题意（10分） ③若m，n∈[1，+∞），则f（m）＜f（n） ∴⇒； ∴；∴m，n为的不等实根 ∴， 综上，存在，符合题意．（12分）