已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系． （1）当m=1时，求数列{an}...

（1）利用数列的递推关系找寻数列相邻项之间的关系是解决本题的关键，注意因式分解和整体思想的运用，转化为特殊数列求出通项公式； （2）将该不等式进行等价转化，利用分离变量思想转化为函数恒成立问题，从而求出m的取值范围； （3）将每一项进行适当放缩转化是解决该问题的关键，通过放缩转化化为特殊数列进行求和并证明． 【解析】 （1）m=1，由， 得：=2an+1，所以an+1+1=2（an+1）， ∴{an+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列． 于是an+1=2•2n-1，∴an=2n-1． （2）由an+1≥an．而a1=1，知an＞0，∴≥an，即m≥-an2-2an 依题意，有m≥-（an+1）2+1恒成立．∵an≥1，∴m≥-22+1=-3，即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）． （3）-3≤m＜1时，由（2）知an+1≥an，且an＞0． 设数列，则， ∵m＜1，即m-1＜0， 故， ∴ ∴ =． 即在-3≤m＜1时，有成立．