已知数列{an}满足an+1=-an2+2an（n∈N*），且0＜a1＜1． （...

（1）要求用数学归纳法证明：按照两个步骤进行，特别注意递推即可． （2）由an+1=-an2+2an和bn=lg（1-an）及，求得bn列进而求得，再取极限即可． （1）证明：①当n=1时，由条件知，成立 ②假设n=k成立，即0＜ak＜1成立， 当n=k+1时，ak+1=-ak2+2ak=-（ak-1）2+1， ∵0＜aK＜1 ∴0＜（ak-1）2＜1 ∴0＜-（ak-1）2+1＜1 ∴0＜aK+1＜1 这就是说，当=k+1时，0＜ak＜1也成立． 根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜an＜1恒成立． （2）【解析】 1-an+1=（1-an）2，0＜an＜1； lg（1-an+1）=lg（1-an）2，，即lg（1-an+1）=2lg（1-an） 即：bn+1=2bn ∴{bn}是以-1为首项，以2为公比的等比数列． ∴bn=-2n-1，∴ 无究数列{}所有项的和为： =（）=[（-1）×]=-2×（）=-2