已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若函数h（x）=|f...

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

（1）函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，可知x=1是函数的零点，因此转化为因式|x-1|-a=0无实数根，即可求得实数a的取值范围；（2）当a≥-3时，求出函数h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根据分段函数最值的求法，分别求出各断上函数的最值，然后求出它们的最大值即可．【解析】（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点， ∴即|x-1|-a=0无实数根， ∴a＜0；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2-1|+a|x-1| =，当1＜x≤2时，∵a≥-3， ∴，当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；当-2≤x＜-1时，，当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（）}=max{0，，2a}=， ∴函数h（x）最大值为h（a）=．

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