在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4 和圆C2：...

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4 和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2 manfen5.com 满分网

，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解析】（1）由于直线x=4与圆C1不相交； ∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x-4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2 ∴d==1（12分） d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=- ∴直线l的方程为：y=0或7x+24y-28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y-b=k（x-a），k≠0 则直线l2方程为：y-b=-（x-a）（6分） ∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等， ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk| ∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5 因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，-）或点P2（-，）经检验点P1和P2满足题目条件（12分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等