已知点A（1，1）是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|...

已知点A（1，1）是椭圆 manfen5.com 满分网

（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

（I）根据椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程；（II）过点（x，y）与椭圆相切的切线方程为，故可求；（III）先假设出直线AC的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．【解析】（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴ 把（1，1）代入得，∴，∴椭圆方程为（II）【解析】过A（1，1）点与椭圆相切的切线方程为：即：x+3y-4=0 （III）设AC方程为：y=k（x-1）+1与椭圆方程联立，消去y得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0 ∵点A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为xA=1，∴ ∵直线AC、AD倾斜角互补，∴AD的方程为y=-k（x-1）+1 同理，又 yC=k（xC-1）+1，yD=-k（xD-1）+1， yC-yD=k（xC+xD）-2K ∴，即直线CD的斜率为定值

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等