设一个正三棱锥的侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，那么两个角α和...

由题设条件及四个选项可以得出需要先做出两个二面角，再由题设中的等量关系建立方程研究两个二面角的关系，由图形及题设条件知在如图图形中作SD⊥BC，连接AD，作SH⊥AD，则SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，连接CE，则CE⊥SA，∠BEC是二侧面成角的平面角，观察三角形BEC，可将此三角形的边用要研究的角α，β表示出来，在此三角形中利用余弦定理得到方程，整理出选项． 【解析】 设正三棱锥S-ABC，侧面与底面所成的角为α，相邻两个侧面所成的角为β，作SD⊥BC，连接AD，作SH⊥AD，则SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，连接CE，则CE⊥SA，∠BEC是二侧面成角的平面角， 设AB=BC=AC=1个单位， AD=，HD==，AH=， =cosα，SD=，SH=， SA===， 又BE×SA×=SD×AB×=S△SAB， ∴BE=== 在三角形EBC中根据余弦定理， BC2=BE2+EC2-2×BE×EC×cosβ， 1=+-2××cosβ， 经整理得：3cos2α+2cosβ=1， 故选C