观察数列： ①1，-1，1，-1，…； ②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，...

（1）根据所给数据发现他们呈周期性变化，类比周期函数可得周期数列定义 （2）根据递推关系an+2=an+1-an可用做差发求得an+6=-an+3=an，而ak+ak+1+-----+ak+5=0，k∈N*利用周期性知S2008=a1+a2+a3+a4=a2+a3=1007 （3）直接做比较困难，可以利用数学归纳法进行求解 【解析】 （1）存在正整数T，使an+T=an； （2）证明：由an+2=an+1-an⇒an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an⇒an+6=-an+3=an 所以数列，{an}是以T=6为周期的周期数列 由S2=2008，S3=2010，a1+a2=2008，a1+a2+a3=2010⇒a3=2 于是⇔ 又ak+ak+1+-----+ak+5=0，k∈N*， 所以，S2008=a1+a2+a3+a4=a2+a3=1007 （3）当p=0时，{an}是周期数列， 因为此时an=0（n∈N*）为常数列， 所以对任意给定的正整数T及任意正整数n， 都有an+T=an，符合周期数列的定义． 当p∈（0，）时，{an}是递增数列，不是周期数列． 下面用数学归纳法进行证明： ①当n=1时，因为a1=p，p∈（0，） 所以， 且a2-a1=2a1（1-a1）-a1=a1（1-2a1）=p（1-2p）＞0 所以a1＜a2，a2∈（0，） ②假设当n=k时，结论成立，即a1＜a2＜---＜ak，ak∈（0，）， 则ak+1-ak=2ak（1-ak）-ak=ak（1-2ak）＞0即ak＜ak+1 所以当n=k+1时，结论也成立． 根据①、②可知，{an}是递增数列，不是周期数列．