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如图,三棱柱ABC-A1B1C1,A1A⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,A1...

如图,三棱柱ABC-A1B1C1,A1A⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,A1A=AB=6,D为AC中点.
(Ⅰ)求三棱锥C1-BCD的体积;
(Ⅱ)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1
(Ⅲ)求证:直线AB1∥平面BC1D.

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(Ⅰ)先根据△ABC为正三角形,D为AC中点,得到BD⊥AC,求出△BCD的面积;再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1-BCD的体积; (Ⅱ)先根据A1A⊥底面ABC,得到A1A⊥BD,再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1.即可证:平面BC1D⊥平面ACC1A1; (Ⅲ)连接B1C交BC1于O,连接OD,根据D为AC中点,O为B1C中点可得OD∥AB1,即可证:直线AB1∥平面BC1D. (本小题满分12分) 【解析】 (Ⅰ)∵△ABC为正三角形,D为AC中点, ∴BD⊥AC, 由AB=6可知,, ∴. 又∵A1A⊥底面ABC,且A1A=AB=6, ∴C1C⊥底面ABC,且C1C=6, ∴.                           …(4分) (Ⅱ)∵A1A⊥底面ABC, ∴A1A⊥BD. 又BD⊥AC, ∴BD⊥平面ACC1A1. 又BD⊂平面BC1D, ∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.                                  …(8分) (Ⅲ)连接B1C交BC1于O,连接OD, 在△B1AC中,D为AC中点,O为B1C中点, 所以OD∥AB1, 又OD⊂平面BC1D, ∴直线AB1∥平面BC1D.                                   …(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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