已知数列{an}，an∈N*，前n项和Sn=（an+2）2． （1）求证：{an...

本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题． （1）根据an+1=Sn+1-Sn及前n项和Sn=（an+2）2，可以得到（an+1+an）（an+1-an-4）=0，从而问题得证． （2）由（1）可得数列{an}的通项公式，进而由bn=an-30得到数列{bn}的通项公式，然后可求数列{bn}的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项． 【解析】 （1）证明：∵an+1 =Sn+1-Sn =（an+1+2）2-（an+2）2， ∴8an+1=（an+1+2）2-（an+2）2， ∴（an+1-2）2-（an+2）2=0，（an+1+an）（an+1-an-4）=0． ∵an∈N*，∴an+1+an≠0， ∴an+1-an-4=0． 即an+1-an=4，∴数列{an}是等差数列． （2）由（1）知a1=S1=（a1+2），解得a1=2．∴an=4n-2， bn=an-30=2n-31，（以下用两种方法求解） 法一： 由bn=2n-31可得：首项b1=-29，公差d=2 ∴数列{bn}的前n项和sn=n2-30n=（n-15）2-225 ∴当n=15时，sn=225为最小； 法二： 由得 ≤n＜．∵n∈N*，∴n=15， ∴{an}前15项为负值，以后各项均为正值． ∴S5最小．又b1=-29， ∴S15==-225