已知椭圆的两个焦点，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果...

已知椭圆的两个焦点

，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使 manfen5.com 满分网

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

（I）由题意知c=，4a=8，由此能得到椭圆的方程．（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理结合向量的运算法则能够导出为定值．【解析】（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1 ∴椭圆的方程为=1 （II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得则 ∴=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2 =m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1） = =要使上式为定值须，解得∴为定值当直线l的斜率不存在时由可得∴=综上所述当时，为定值

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考点分析：

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定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设 manfen5.com 满分网