已知各项均为正数的数列an满足（n∈N*），且a1+a2+a3=a4-2． （Ⅰ...

（Ⅰ）先整理得2an=an+1，进而得数列{an}公比为2的等比数列；再借助于a1+a2+a3=a4-2求出首项 即可求出数列{an}的通项公式； （Ⅱ）先推得n=1时不等式成立，再假设当n=k时，不等式7•4k+1＞3k+1成立，借助于放缩法即可证明n=k+1时不等式成立，即可证得结论； （Ⅲ）把（Ⅰ）的结论代入整理可得数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列，即可求出Tn（n∈N*），再对 与作差整理即可得出结论． 【解析】 （Ⅰ）∵， an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0 又an＞0，所以有2an-an+1=0， ∴2an=an+1所以数列{an}为公比为2的等比数列 由a1+a2+a3=a4-2得a1+2a1+4a1=8a1-2，解得a1=2 故数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*） （Ⅱ）①当n=1时，7•4=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立 ②假设当n=k时，不等式7•4k+1＞3k+1成立 当n=k+1时， 7×4k=4×7×4k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1 综上①②对任意的n∈N*均有7•4n+1＞3n+1 （Ⅲ）因bn=an2=22n=4n，所以 即数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列 所以， 又 ∴-=- = 所以对任意的n∈N*均有