已知二次函数f（x）=x2-16x+p+3．（1）若函数在区间[-1，1]上存...

已知二次函数f（x）=x²-16x+p+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q（q≥0），当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．（注：区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a）．

（1）根据解析式判断f（x）在区间[-1，1]上递减，由函数零点的几何意义知f（-1）•f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范围；（2）先假设存在常数q（q≥0）满足题意，根据对称轴和区间[q，10]的关系进行分类，再根据每种情况中的二次函数图象求出函数的值域，利用区间长度求出q的值，注意验证是否在确定的范围内．【解析】（1）∵二次函数f（x）=x2-16x+p+3的对称轴是x=8， ∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，则函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）•f（1）≤0．即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．（2）假设存在常数q（q≥0）满足题意，分三种情况求【解析】 ①当时，即0≤q≤6时，当x=8时，取到最小值f（8）；当x=q时，取到最大值f（q）， ∴f（x）的值域为：[f（8），f（q）]，即[p-61，q2-16q+p+3]． ∴区间长度为q2-16q+p+3-（p-61）=q2-16q+64=12-q． ∴q2-15q+52=0，∴，经检验不合题意，舍去，故． ②当时，即6≤q＜8时，当x=8时，取到最小值f（8）；当x=10时，取到最大值f（10）， ∴f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57] ∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．经检验q=8不合题意，舍去． ③当q≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增， ∴f（x）的值域为：[f（q），f（10）]，即[q2-16q+p+3，p-57]． ∴区间长度为p-57-（q2-16q+p+3）=-q2-16q-60=12-q， ∴q2-17q+72=0，∴q=8或q=9．经检验q=8或q=9满足题意．综上知，存在常数q=8或q=9，当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．

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考点分析：

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