在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n...

（Ⅰ）整理an+1=（1+q）an-qan-1得an+1-an=q（an-an-1）代入bn中进而可证明{bn}是等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可分别求得a2-a1，a3-a2，…an-an-1，将以上各式相加，答案可得． （Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，判断q≠1．根据a3是a6与a9的等差中项，求得q．用q分别表示出an，an+3与an+6进而根据等差中项的性质可得结论． 【解析】 （Ⅰ）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1，n≥2． 又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）a2-a1=1，a3-a2=q， … an-an-1=qn-2，（n≥2）． 将以上各式相加，得an-a1=1+q++qn-2（n≥2）． 所以当n≥2时， 上式对n=1显然成立． （Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1． 由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠0得q3-1=1-q6，① 整理得（q3）2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1（舍去）．于是． 另一方面，，． 由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*． 所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．