三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、...

（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB，只需证明EF∥平面PCB，GF∥平面PCB即可； （Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小，利用三垂线定理，作出二面角的平面角，解三角形即可． （Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小，设PB的中点为K，连接KC，AK，∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．解答即可． 或者建立空间直角坐标系，利用向量数量积求解即可． 【解析】 方法1： （Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点， 所以EF∥BC，GF∥CP．（1分） 因为EF、GF⊄平面PCB， 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB． 又EF∩GF=F， 所以平面GFE∥平面PCB．（3分） （Ⅱ）【解析】 过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H． 连接HB． 因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC． 所以HB⊥PA． 所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．（6分） 依条件容易求出CH=． 所以tan∠BHC==． 所以∠BHC=arctan． 所以二面角B-AP-C的大小是arctan．（8分） （Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K， 连接KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形， 所以KC⊥PB． 又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C， 所以AC⊥平面PCB． 所以AK⊥PB． 因为AK∩KC=K， 所以PB⊥平面AKC． 又PB⊂平面PAB， 所以平面AKC⊥平面PAB． 在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M． 因为平面AKC⊥平面PAB， 所以FM⊥平面PAB． 连接PM， 所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．（11分） 容易求出PF=，FM=． 所以sin∠MPF==． 所以∠MPF=arcsin． 即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin．（13分） （Ⅲ）解法2：连接FB， 因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C， 所以PC⊥平面ABC． 即PC是三棱锥P-ABF的高． 依条件知VP-ABF=×PC×（×AF×BC） =×1×（×1×1）=． 又VF-PAB=×h×S△PAB（其中h是点F到平面PAB的距离） =×h×（××）=×h×=h， 所以由=h解得h=．（11分） 设PF与平面PAB所成的角为α， 又PF=， 所以sinα===． 所以α=arcsin． 即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin．（13分） 方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz． 所以A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1） （Ⅰ）略（3分） （Ⅱ）【解析】 显然=（0，1，0）是平面PAC的一 个法向量． 设n=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量， 因为=（-2，0，1），=（-2，1，0）， 所以由n•=0，n•=0解得n=（1，2，2）．（6分） 设二面角B-AP-C的大小为θ， 所以cosθ==． 所以二面角B-AP-C的大小为arccos．（arccos=arctan）（8分） （Ⅲ）【解析】 设PF与平面PAB所成的角为α， 由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=（1，2，2）． 又=（-1，0，1）， 所以cos（-α）==．（11分） 所以sinα=． 所以α=arcsin． 即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin．（13分）