已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），...

（1）根据函数的性质可得函数是下凹函数，结合二次函数的性质可得a＞0． （2）由题意可得：函数f（x+2）的对称轴是y轴，根据y=f（x+2）的图象沿x轴向右平移两个单位即可得到函数y=f（x）的图象，可得二次函数y=f（x）图象的对称轴为x=2，进而得到a与b的关系． （3）当区间[a，3]包含对称轴时，求函数值域需考虑对称轴是靠近区间左端点，还是靠近区间右端点，从而确定函数值域．看满足且D的长度为10-a3的a值是否存在．当区间[a，3]在对称轴右边时，函数在区间上是增函数，易求函数值域．再看满足且D的长度为10-a3的a值是否存在． 【解析】 （1）因为对于任意的实数x1、x2（x1≠x2），都有成立， 所以函数f（x）下凹函数， 所以结合而二次函数的性质可得：实数a＞0． （2）因为f（x+2）为偶函数， 所以函数f（x+2）的对称轴是y轴． 又因为y=f（x+2）的图象沿x轴向右平移两个单位即可得到函数y=f（x）的图象， 所以函数y=f（x）图象的对称轴为x=2，即函数f（x）关于x=2对称， 所以由二次函数的性质可得：，即4a+b=0， 所以实数a与b之间的关系为：4a+b=0． （3）由（2）可得：f（x）=ax2-4ax+1=a（x-2）2+1-4a， 当0＜a≤1时，f（x）min=1-4a，f（x）max=a3-4a2+1， 所以f（x）max-f（x）min=a3-4a2+1-（1-4a）=a（a-2）2， 由0＜a≤1时，1≤（a-2）2＜4，则a（a-2）2＜4，而10-a3＞9，不合题意； 当1＜a＜2时，f（x）min=1-4a，f（x）max=1-3a， 所以f（x）max-f（x）min=1-3a-（1-4a）=a， 由1＜a＜2，得10-a3＞2，所以a≠10-a3，不合题意； 当2≤a＜3时，f（x）min=a3-4a2+1，f（x）max=1-3a， 所以f（x）max-f（x）min=1-3a-（a3-4a2+1）=10-a3， 故4a2-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0， 因为2≤a＜3， 所以a=2． 综上所述：存在常数a=2符合题意．