已知函数． （1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值； （2）求f（x）的单...

（1）若（x）在x=2时取得极值，则f′（2）=0，根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，代入即可构造关于a的方程，解方程即可得到答案． （2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，然后分类讨论a在不同取值时，导函数在不同区间上的符号，即可确定f（x）的单调区间； （3）构造函数g（x）=，利用导数法判断其在定义上的单调性后，易得g（x）＞0恒成立，进而得到结论． 【解析】 （1）∵． ∴ 又∵f（x）在x=2时取得极值， ∴，解得a=4 （2）∵，（x＞0） 当a＜0时，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）为增函数， 故当a＜0时，（0，+∞）为函数的单调递增区间； 当a=0，f（x）=x2，当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）为增函数， 故当a=0时，[0，+∞）为函数的单调递增区间； 当a＞0时，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 故当a＜0时，（0，）为函数的单调递减区间，（，+∞）为函数的单调递增区间； （3）令g（x）=， 则g′（x）=== ∵当x＞1时，g′（x）＞0 故在（1，+∞）上，g（x）=为增函数 即当x＞1时，g（x）＞g（1）=＞0 故当x＞1时，．