设（a∈R）． （1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围； （2）...

（1）先对函数进行求导，讨论a的取值，使x=1是函数f（x）的极大值点，求出变量a的范围． （2）要在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，等价于当时，f（x）max＞e-1，根据第一问可求出 f（x）max，利用导数求闭区间上函数的最值即可． 【解析】 当a-1≤0时， 当0＜a-1＜1时， 当a-1=1时， 当a-1＞1时， 综上所述，当a-1＞1，即a＞2时，x=1是函数f（x）的极大值点．（7分） （2）在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，等价于 当时，f（x）max＞e-1．（9分） 由（1）知，①当，即时， 函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，∴． 由，解得． 由，解得a＜1∵，∴a＜1；（12分） ②当a≥1+e，即a-1≥e时，函数f（x）在上递增，在[1，e]上递减，f（x）max=f（1）=2-a≤1-e＜e-1． 综上所述，当a＜1时，在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立．（14分）