点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2y上的不同两点，过A，B...

点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x，y）．
（1）求证：x是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

（1）首先求出抛物线的导数，进而求出直线PA和PB的方程，得出即可证明结论．（2）设出直线方程并代入抛物线方程，利用韦达定理求出x0和y0，即可求出斜率，根据斜率乘积为-1得出垂直即可证明结论；（3）设中重心的坐标为G（x，y），可以得出x=k，y=k2+，即可求出轨迹方程．【解析】（1）对x2=2y求导得y'=x，所以直线PA：y=x1（x-x1）+y1，即同理，直线，解得所以x是x1与x2的等差中项；（5分）（2）设直线AB：y=kx+1，代入x2=2y整理得x2-2kx-2=0． ∴，得 ∴即AB⊥OP；kAP=x1， ∴， ∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，所以原点O是△PAB的垂心；（（10分），只需证明两个垂直就得满分）（3）设△PAB的重心G（x，y），则，因为k∈R，所以点G的轨迹方程为．（15分）

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考点分析：

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AB为圆O的直径，点E，F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所
在平面与圆O所在平面互相垂直，
已知AB=2，EF=1．
（1）求证：BF⊥平面DAF；
（2）求BF与平面ABCD所成的角；
（3）若AC与BD相交于点M，
求证：ME∥平面DAF．