已知函数f（x）=x3-ax2，其中a为实常数． （1）设当x∈（0，1）时，函...

（1）根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'（x）=3x2-2ax≥-1，x∈（0，1）恒成立的a的取值范围，进而利用分离参数即可求得结果； （2）求函数g（x）=f（x）+a（x2-3x）=x3-3ax，x∈[-1，1]的导数，对方程g′（x）=3x2-3a=3（x2-a）=0有无实根，和有根，根是否在区间[-1，1]内进行讨论，求得函数的极值，再与f（-1）、f（1）比较大小，确定函数的最大值． 【解析】 （1）∴k=f'（x）=3x2-2ax，x∈（0，1）． 由k≥-1，得3x2-2ax+1≥0，即a≤恒成立 ∴a≤（3x+）min ∵当x∈（0，1）时，3x+≥2=2，当且仅当x时取等号． ∴（3x+）min=．故a的取值范围是（-∞，]． （2）设g（x）=f（x）+a（x2-3x）=x3-3ax，x∈[-1，1]则 g′（x）=3x2-3a=3（x2-a）． ①当a≥1时，∴g′（x）≤0．从而g（x）在[-1，1]上是减函数． ∴g（x）的最大值为g（-1）=3a-1． ②当0＜a＜1时，g′（x）=3（x+）（x-）． 由g′（x）＞0得，x＞或x＜-：由g′（x）＜0得，-＜x＜． ∴g（x）在[-1，-]，[，1]上增函数，在[-，]上减函数． ∴g（x）的极大值为g（-）=2a． 由g（-）-g（1）=2a+3a-1=（+1）2•（2-1）知 当2-1＜0，即0≤a＜时，g（-）＜g（1） ∴g（x）max=g（1）=1-3a． 当2-1≥0，即＜a＜1时，g（-）≥g（1） ∴g（x）max=g（-）=2a． ③当a≤0时，g′（x）≥0，从而g（x）在[-1，1]上是增函数． ∴g（x）max=g（1）=1-3a 综上分析，g（x）max=