二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1． （1）求f（...

（1）先设f（x）=ax2+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可． （2）转化为x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立问题，找其在[-1，1]上的最小值让其大于0即可． 【解析】 （1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1． 因为f（x+1）-f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x． 即2ax+a+b=2x，所以，∴， 所以f（x）=x2-x+1 （2）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立． 设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[-1，1]上递减． 故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0， 解得m＜-1．