数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使an+Sn=An+B对任...

（Ⅰ）A=0时，an+Sn=B，得出当n≥2时，由条件得，an-an-1+（Sn-Sn-1）=0即，从而有数列{an}是等比数列； （Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得关于A，B，C的方程，解得A，B，C．从而得出等差数列{an}是常数列，结合题中条件得出关于p，q的方程即可求得求p，q的值； （Ⅲ）当n=1时，得到B=2-A所以an+Sn=An+（2-A），当n≥1时，由题意得出数列{an-A}是公比为的等比数列，下面对A进行分类讨论：①当A＞1时②当0＜A＜1时．利用不等式的放缩即可得出M的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）A=0时，an+Sn=B， 当n≥2时，由，{得，an-an-1+（Sn-Sn-1）=0 即，所以，数列{an}是等比数列．（4分） （Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得：， {，即，{，解得，{， 即等差数列{an}是常数列，所以Sn=n；（7分） 又，则，pq-11p-11q=0，（p-11）（q-11）=112， 因p＜q，所以，解得．（10分） （Ⅲ）当n=1时，2=A+B，所以B=2-A 所以an+Sn=An+（2-A）， 当n≥1时，由，{ 得an+1-an+（Sn+1-Sn）=A， 即 所以，又a1-A≠0 即数列{an-A}是公比为的等比数列， 所以，即，（12分） ， ①当A＞1时 且的值随n的增大而减小， 即…， 所以，，即M的取值范围是；（14分） ②当0＜A＜1时 且的值随n的增大而增大， 即…＜2， 所以，M≥2， 综上即M的取值范围是[2，+∞）．（16分）