已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a...

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测an的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即ak=2-，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2-，当n=k+1时，命题成立．故an=2-都成立．【解析】（1）a1=，a2=，a3=，猜测an=2- （2）①由（1）已得当n=1时，命题成立； ②假设n=k时，命题成立，即ak=2-，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3， ∴2ak+1=2+2-，即ak+1=2-，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，an=2-都成立．

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考点分析：

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