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过点(1,0)的直线与中心在原点,焦点在x轴上且率心率为manfen5.com 满分网的椭圆C相交于A、B两点,直线y=manfen5.com 满分网x过线段AB中点,同时椭圆C上存在一眯与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.
本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式,再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解. 【解析】 由e==,得=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,=- 设AB中点为(x,y),则kAB=-,又(x,y)在直线y=x上,y=x,于是-=-1,kAB=-1,则l的方程为y=-x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),则解得 由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=,a2= ∴所求椭圆C的方程为, l的方程为y=-x+1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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