已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a...

（1）根据偶函数的定义f（x）=f（-x），求出a的值和函数解析式，进而求出最小值； （2）先设x1＜x2 ，x1、x2∈，推出f（x1）＞f（x2），从而可以证明结论； （3）首先由题意得出（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立．转化成求函数h（x）=（a+2）x+1-3a的最小值，要采取分类讨论次函数的斜率与单调性的关系，求出a的取值范围． 【解析】 （1）函数f（x）是偶函数 ∴f（x）=f（-x），即：-2x2+（a+3）x+1-2a=-2x2-（a+3）x+1-2a ∴a=-3 则f（x）=-2x2+7 ∴对称轴为x=0 ∴最小值f（3）=-11 （2）∵a=-2 ∴f（x）=-2x2+x+5 设x1＜x2 ，x1、x2∈ f（x1）-f（x2）=-2x12+x1+5+2x22-x2-5=（x2-x1）[2（x1+x2）-1] ∵x1＜x2 ，∴x2＞x1 ∵x1、x2∈∴2（x1+x2）＞1∴2（x1+x2）-1＞0 ∴f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2） ∴当a=-2时，f（x）在区间上为减函数． （3）由题意得-2x2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在[-1，3]上恒成立．即（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立． 设h（x）=（a+2）x+1-3a， ①若a＞-2，该函数是增函数，只需f（-1）＞0即可， 则f（-1）=-4a-1＞0，解得a＜-，所以-2＜a＜-； ②若a＜-2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可， 则f（3）=7＞0，，所以a＜-2满足； ③若a=-2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=-2满足要求． 故a的取值范围是a＜．