已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a...

（1）由函数为偶函数，则有f（-x）=f（x）恒成立，再用待定系数法求解，明确其单调性，再求函数最值． （2）欲证明证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，即要证明如果对于属于[1，+∞）区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）．那么就说f（x）在 这个区间上是减函数． （3）首先由题意得出（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，转化成求函数h（a）=（x-3）a+2x+1的最小值，求出x的取值范围． 【解析】 （1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立， 即：-2x2+（a+3）x+1-2a=-2x2-（a+3）x+1-2a ∴a=-3 ∴f（x）=-2x2+7；易知其对称轴为：x=0 ∴当x=0时，f（x）max=7，当x=3时，f（x）min=-11； （2）当a≤1时，f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数． 设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）=）=-2x12+（a+3）x1+1-2a-（-2x22+（a+3）x2+1-2a，） =-2（x12-x22）+（a+3）（x1-x2） =（x1-x2）[-2（x1+x2）+a+3] ∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且-2（x1+x2）＜-4， ∵a≤1，∴a+3≤4，∴-2（x1+x2）+a+3＜0 ∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 故函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数． （3）对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方， 即-2x2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在a∈[-3，+∞）上恒成立， 即（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立， 设h（a）=（x-3）a+2x+1， ∴，即， 解得3＜x＜10， ∴实数x的取值范围为（3，10）．