设，其中f（x）=lnx． （Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值...

（Ⅰ）要使g（x）在（0，+∞）为增函数，它的导数大于0即可，即 上恒成立，利用 基本不等式求出的最大值，p应大于或等于此最大值． （Ⅱ）只要证明k（x）=lnx-x+1≤0即可，利用它的导数求出函数k（x）的最大值为0，可以得出结论． （Ⅲ）因为 lnx≤x-1，又x＞0，换元可得 ，即 ，利用此不等式 化简要证的不等式的左边，再用放缩法可证它小于不等式的右边． 【解析】 （Ⅰ）∵（x＞0）， ∴．（1分） 令h（x）=px2-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）为增函数， 只需h（x）在（0，+∞）上满足：h（x）≥0恒成立， 即px2-2x+p≥0．即 上恒成立． 又∵，（4分） ∴p≥1．（5分） （Ⅱ）证明：要证lnx≤x-1， 即证lnx-x+1≤0（x＞0）， 设k（x）=lnx-x+1，．（6分） 当x∈（0，1]时，k'（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数； 当x∈（1，+∞）时，k'（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数； ∴k（x）max=k（1）=0．（9分） 即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．（10分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0， ∴． ∵n∈N*，n≥2，可令x=n2，得．（12分） ∴． ∴= = ==．（14分）