如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=9...

解法一： （1）根据平面与平面垂直的性质定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB． （2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过点C作CM⊥AB于M，连接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角． （3）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，连接AO、MO、NO、MN、OD，则OM∥AC，；MN∥BD，． ∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角． 解法二： 以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可． （1）设CD=1，则O（0，0，0），，，，．故由得：，即AB⊥CD． （2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量为，设平面ABD的法向量为，所以这两个法向量的夹角的大小（正值）即为二面角D-AB-C的大小； （3）因为，，故异面直线AC和BD所成角的大小即为的夹角的大小． 解法一： （Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC， ∴CD⊥面ABC．（2分） 又∵AB⊂面ABC， ∴DC⊥AB．（4分） （Ⅱ）【解析】 如图，过点C作CM⊥AB于M，连接DM． 由（Ⅰ）知CD⊥面ABC． ∴CM是斜线DM在平面ABC内的射影， ∴DM⊥AB．（三垂线定理） ∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分） 设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得，BD=2． ∵△ABC是正三角形， ∴． ∴． ∴． ∴二面角D-AB-C的大小为．（9分） （Ⅲ）【解析】 如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O， 连接AO、MO、NO、MN、OD， 则OM∥AC，；MN∥BD，． ∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．（11分） ∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD， ∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，． 又∵CD⊥面ABC，故． 在△OMN中，，MN=1，ON=1． ∴． ∴异面直线AC和BD所成角为．（14分） 解法二： （Ⅰ）分别取BC、BD的中点O、M，连接AO、OM． ∵△ABC是正三角形， ∴AO⊥BC． ∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD=BC， ∴AO⊥平面BCD． ∵OM是△BCD的中位线，且CD⊥平面ABC， ∴OM⊥平面ABC． 以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所 在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间 直角坐标系．（2分） 设CD=1，则O（0，0，0），，，，． ∴，．（4分） ∴． ∴，即AB⊥CD．（6分） （Ⅱ）∵CD⊥平面ABC， ∴平面ABC的法向量为．（7分） 设平面ABD的法向量为， ∴，． ∴， 即．， 即． ∴令，则x=-3，z=-1． ∴．（9分） ∴=． ∵二面角D-AB-C是锐角， ∴二面角D-AB-C的大小为．（11分） （Ⅲ）∵，， ∴=． ∴异面直线AC和BD所成角为．（14分）