已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-...

（I）直接设出g（x）的表达式，利用不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，可得g（1）=0与g（-1）=0相结合可得b=0，a+c=0；再代入利用不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立求出a即可． （II）先求出函数f（x）的表达式，在对实数m分情况求出对应函数f（x）的值域，让实数m与函数f（x）的最小值比较即可求实数m的取值范围； （III）先求出函数H（x）在[1，m]单减，进而得，转化为求的最大值问题即可． 解（I）设g（x）=ax2+bx+c（a≠0）， 由题意令x=1得0≤g（1）≤0∴g（1）=0， ∴得b=0，a+c=0， ∵x-1≤g（x）≤x2-x对∀x∈R恒成立， ∴ax2-a≥x-1和ax2-a≤x2-x恒成立， 得， ∴． （II）=， 当m＞0时，f（x）的值域为R 当m=0时，恒成立 当m＜0时，令 x f'（x） - + f（x） ↘ 极小 ↗ 这时 若∃x＞0使f（x）≤0成立则只须f（x）min≤0即m≤-e， 综上所述，实数m的取值范围（-∞，-e）∪（0，+∞）． （III）∵，所以H（x）在[1，m]单减 于是， ， 记，则 所以函数h（m）在[1，e]是单增函数 所以 故命题成立．