由已知条件可得，要证原不等式成立，只要证 3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0 即可，
即 2（a3+b3+c3 ）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，
即 2（a3+b3+c3 ）+a2（-b-c）+b2（-a-c）+c2（-a-b）≥0，即 a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0，
即 a2 （a-b）+a2（a-c）+b2（b-a）+b2（b-c）+c2（c-a）+c2（c-b）≥0，
故只要证 （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0 ①即可，而①显然成立．
证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 ，
只要证 3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0，
只要证 2（a3+b3+c3 ）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，
只要证 2（a3+b3+c3 ）+a2（-b-c）+b2（-a-c）+c2（-a-b）≥0，
只要证 a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0，
只要证 a2 （a-b）+a2（a-c）+b2（b-a）+b2（b-c）+c2（c-a）+c2（c-b）≥0，
只要证 （a-b）（a2-b2）+（b-c） （b2-c2）+（c-a）（c2-a2）≥0，
只要证 （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0，
而由题意可知 （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0 成立，故要证的不等式成立．
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）x；④φ（x）=ln x，其中是一阶整点函数的是 ．
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（n为正整数），
对一切正整数n恒成立．
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