如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A...

因为是一个长方体，很容易建立空间直角坐标系，（I）先求得相关点的坐标A1（0，0，4），C（3，3，0）， E（0，0，2），O（，从而得到向量的坐标，然后由共线向量定理证明即可． （II）分别求得二个半平面的一个法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，则就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一个法向量为，用向量的夹角公式求解． （III）先求平面A1BCD1的法向量，再由点E和平面内一点构建向量，利用向量距离公式求解． 【解析】 （I）如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O， 连接EO． A1（0，0，4），C（3，3，0）， E（0，0，2），O（（2分） ， ∵，∴A1C∥EO． ∵EO⊂平面BED，A1C⊄平面BED， ∴A1C∥平面BED．（5分） （II）由于AE⊥平面ABCD， 则就是平面ABCD的法向量．（6分） B（3，0，0），D（0，3，0）， 设平面EBD的法向量为． 由得 令z=3，则．（7分） ． ∴二面角E-BD-A的大小为arrccos．（9分） （III）D1（0，3，4），则， 设平面A1BCD1的法向量为． 即 解得令z'=3，则=（-4，0，-3）． 即点E到平面A1BCD1的距离是． 又．（14分）