已知函数，函数．（1）若函数y=g（mx2+2x+m）的值域为R，求实数m的取...

已知函数

，函数

．
（1）若函数y=g（mx²+2x+m）的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=g[f（x²）]的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

（1）欲使函数y=g（mx2+2x+m）的值域为R，只需要内层函数的值域中包含了全体正数，当m=0时显然满足，当m不为0时，内层函数为二次函数，需要开口向上且判别式大于等于0，即可满足要求．（2）x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]2-2af（x）+3是一个复合函数，复合函数的最值一般分两步来求，第一步求内层函数的值域，第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值，本题内层函数的值域是确定的一个集合，而外层函数是一个系数有变量的二次函数，故本题是一个区间定轴动的问题．（3）假设存在，先求出函数y=g[f（x2）]的解析式，为y=x2，则函数在[m，n]上单调增，故有[m2，n2]=[2m，2n]解出m，n的值说明假设成立，若解不出，则说明假设不成立．【解析】（1）①当m=0时，满足条件； ②当m≠0时，有综上可得，0≤m≤1．（2）令，则y=t2-2at+3=（t-a）2+3-a2 ①当时， ②当时，h（a）=3-a2 ③当a＞3时，h（a）=12-6a 故h（a）=；（3）假设存在实数m，n满足条件，则有0≤m＜n，化简可得函数表达式为y=x2，则函数在[m，n]上单调递增，故值域为[m2，n2]=[2m，2n] 解得m=0，n=2 故存在m=0，n=2满足条件．

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