已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，且对任意α，β∈R恒有f...

（Ⅰ）根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，”可得到即，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，从而有f（1）=0，解得得到函数的解析式． （Ⅱ）先求导数f'（x）=3x+1，则即，两边取倒数，有由等差数列定义求解． （Ⅲ）化简得Sn•cos（bnπ）=（-1）n•Sn∴以有Tn=-S1+S2-S3+S4-+（-1）nSn．再分n为偶数和n为奇数两种情况化简即可． 【解析】 （Ⅰ）依题意，（a＞0）， 即 令，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0， 得f（1）=0，即，得． ∴．-（4分） （Ⅱ）f'（x）=3x+1，则 即，两边取倒数，得，即bn+1=3+bn． ∴数列bn是首项为，公差为3的等差数列． ∴bn=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N*）．（9分） （Ⅲ）∵cos（bnπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）n ∴Sn•cos（bnπ）=（-1）n•Sn∴Tn=-S1+S2-S3+S4-+（-1）nSn． （1）当n为偶数时Tn=（S2-S1）+（S4-S3）++（Sn-Sn-1）=b2+b4++bn = （2）当n为奇数时= 综上，（13分）