已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（Ⅰ）讨论f（1）...

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

（Ⅰ）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（-1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x，y），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．（Ⅰ）【解析】 f'（x）=3ax2+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，即解得a=1，b=0． ∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．令f'（x）=0，得x=-1，x=1．若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．若x∈（-1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．（Ⅱ）【解析】曲线方程为y=x3-3x，点A（0，16）不在曲线上．设切点为M（x，y），则点M的坐标满足y=x3-3x．因f'（x）=3（x2-1），故切线的方程为y-y=3（x2-1）（x-x）注意到点A（0，16）在切线上，有16-（x3-3x）=3（x2-1）（0-x）化简得x3=-8，解得x=-2．所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．

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考点分析：

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